構造物には様々な種類の荷重が作用している．本節では荷重について整理しておこう．荷重は，その考え方によりいろいろな分類法がある．ここでは代表的な分類について説明する．
４.１.１ 作用荷重の分布状態による分類 表4.1.1 に示すように荷重は
集中荷重 (concentrated load)と
分布荷重 (distributed load)に大別される．
$\hspace{4em}$表4.1.1 分布状態による分類
集中荷重は
図4.1.1(a) に示すようにある１点に集中して作用する荷重で，$x$，$y$ 方向の力の他，力のモーメントも１点に集中していれば集中荷重として扱われる．
$\hspace{4em}$図4.1.1 荷重の分布状態
一方，分布荷重は分布状態により，
図4.1.1(b) に示す
等分布荷重 と，
図4.1.1(c) に示す
三角形荷重 ，
図4.1.1(d) に示す
台形荷重 に分類される．ただし，台形荷重は等分布荷重と三角形荷重の組み合わせにより表すこともできる．
分布荷重は単位長さあたりの荷重量を示すため，集中荷重の単位が $({\rm N})$ であるのに対し，$({\rm N/m})$ により表される．また，集中荷重における力のモーメントと同様，分布荷重のなかには分布モーメントもある．
４.１.２ 作用位置の変化の有無による分類 表4.1.2 示すように荷重は
静止荷重 (static load)と
移動荷重 (moving load)に大別される．静止荷重は一定の位置に作用する一定の荷重で，自重のような
死荷重 (dead load)も静止荷重の一つである．
$\hspace{4em}$表4.1.2 作用位置の変化による分類
一方，移動荷重は，一定の大きさの荷重が構造物などの上を移動する荷重で，その形態により
進行荷重 (sdvancing load)，
転行荷重 (rolling load)，
連行荷重 (travelling load)などがある．進行荷重には
図4.1.2(a) に示すような歩道を設計するときに利用される群集荷重などがある．また，
転行荷重 は
図4.1.2(b) に示す輪荷重のことで，自動車による荷重がその例である．連行荷重には一定の間隔を置いて移動している大型トレーラーや列車などの荷重がある．
$\hspace{8em}$図4.1.2 作用位置の変化する荷重
４.１.３ 作用状態による分類
荷重の載荷状態により荷重を分類すると，
表4.1.3 に示すように，
直接荷重 (direct load)と
間接荷重 (imdirect loaf)に分類される．
$\hspace{0em}$表4.1.3 作用状態の相違による荷重
直接荷重は，
図4.1.3(a) に示すように構造物に直接作用する荷重で，間接荷重は
図(b) は，別の構造物を通して目的とする構造物に間接的に作用する荷重である．
$\hspace{4em}$図4.1.3 作用状態の相違による荷重
４.１.４ 荷重の変化状態による分類
静止荷重に対して移動荷重という場合には，単に荷重が移動するというだけで，どれだけの時間にどれだけの荷重が作用するといった概念は含まれていなかった．これに対し，
表4.1.4 は時間の変化に伴う荷重量の変化に関して分類したものである．
$\hspace{0em}$表4.1.4 荷重の変化状態による分類
一定荷重は荷重そのものの大きさが時間により変化しないもので，例えば静止荷重や移動荷重が上げられる．また，変動荷重は荷重の大きさが時間とともに変化し，繰り返し作用するものをいい，例えば，風荷重や地震力がある．衝撃荷重は変動荷重と同様，荷重の大きさが時間とともに変化するが，その作用時間が微小で衝撃を伴うという点に特徴がある．自動車などの衝突はそのよい例である．
４.１.５ 荷重の作用する時間の長短による分類
構造物から見て常時作用する荷重とまれに作用する荷重とでは設計上，扱いが異なる．前者を長期荷重といい，後者を短期荷重と呼ぶ．後者に関する荷重の例としては雪や風による荷重や地震力などがある．
$\hspace{0em}$表4.1.5 作用時間による分類
４.２.１ 支点構造と反力
一般に，構造物は地盤や他の構造物に結合され，その点により支持されている．この結合点のことを
支点 (support) ，あるは支持点と呼んでいる．支点の構造物は
シュー（支承） (shoe)と呼ばれており，目的に応じて，いろいろな構造が用意されている．
支点には各種の反力が生ずるが，この力のことを
支点反力 (reaction force)といい，構造物を設計する場合，この反力を求めることが重要な作業の一つとなる．
ここでは，まず支点構造にはどのようなものがあるか，代表的な支点構造を取り上げ，その構造に生ずる反力の種類について説明する．
１）ローラー支承 ローラー支承 (roller support)は
図4.2.1 に示すように，ピンとローラーから構成される支点構造物である．
$\hspace{3em}$図4.2.1 ローラー支承
ピンは自由に回転できるため，モーメントに抵抗しない．したがって，モーメントに関する反力も発生しない．また，ローラーは水平方向に自由に移動できるため，水平方向の力に対しても抵抗せず，反力も生じない．このようにローラー支承では
鉛直方向反力 $(V)$ のみが生ずる ．解析用のモデル図を描く場合には，通常，
図4.2.1 に示した記号を用いて簡単に表現する．
２）ヒンジ支承 ヒンジ支承 (hinged support)は
図4.2.2 に示すよう，ローラー支承のローラーが外された支点構造物である．
$\hspace{3em}$図4.2.2 ヒンジ支承
ピン構造であるため，ローラー支承と同様，自由に回転することができ，モーメントの反力は発生しない．しかし，シュー自身は床や地盤などの他構造物に固定されているため，ローラー支承のように移動することができず，水平方向反力が発生する．このように，ヒンジ支承では
鉛直方向反力 $(V)$ と水平方向反力 $(H)$ の２種類の反力が生ずる ．また，解析用のモデルにおける支点記号には
図4.2.2 に示す記号が使われる．
３）固定支点 図4.2.3 に示すよう，床や他の構造物に完全に固定された支点構造のことを
固定支点 (fixed support) と呼ぶ．
$\hspace{3em}$図4.2.3 固定支点
この支点は水平方向，鉛直方向の力およびモーメントをすべて拘束するため，
水平方向反力 $(H)$，鉛直方向反力 $(V)$，モーメント反力 $(M)$ の３つの反力が発生する ．解析用のモデル図における固定支承の記号は図のとおりである．
この他にも地盤を近似的にばねで置換するばね支点などがあるが，多くの構造物では上記の３つにより表現できるため，ここでは説明を省略する．
４.２.２ 静定構造物と不静定構造物
構造力学では支持点を先に示した力学的な機能により力として扱う．
図4.2.4 は簡単な
はり (beam)の例である．図中の支点間隔は
スパン (span)と呼ばれている．支点の記号を見ると，$A$ 端はヒンジ支承であるから，水平方向反力 $(H_A)$ と鉛直方向反力 $(V_A)$ に置換できる．一方，$B$ 端はローラー支承であるから鉛直方向反力 $(V_B)$ のみ生じる．
$\hspace{3em}{\rm (a)}$単純ばり $\hspace{9em}{\rm (b)}$支点反力図4.2.4 単純ばり反力
このように，
図4.2.4(b) に示すように支点構造を力に置換した状態を眺めると，反力を求めるという問題を，一点に会しない力のつり合いに関する問題と考えることができる．構造物がその位置に留まっていられるということは構造物に作用する力と反力の間に次に示すつり合い条件が満足されていなければならない．
\[
（並進運動を起こさない条件）\\
\hspace{1em} \sum H = 0 （水平方向のつり合い）\\
\hspace{1em} \sum V = 0 （鉛直方向のつり合い）\\
（回転運動を起こさない条件）\\
\hspace{1em} \sum M = 0 （モーメントのつり合い）
\]
このように，構造物の反力を求めることは単に力のつり合いを解くにすぎないのである．
しかし，すべての構造物における支点反力が，つり合い条件から求めることができるわけではない．例えば，
図4.2.5 に示すような構造を考えてみよう．
$\hspace{3em}{\rm (a)}$単純ばり $\hspace{8em}{\rm (b)}$支点反力図4.2.5 両端固定ばりの反力
両端固定支点であるため，
図4.2.5(b) に示すようなつり合い系が得られる．ここで，未知数は両端の反力６個であるが，つり合い条件式は３つであるため，未知数が方程式数より多くなり，解くことができない．このような問題を解くためには，つり合い条件以外に変形に関する条件を考慮しなければならない．
つり合い条件だけで反力を求めることができるかどうかは，次の式により判定できる．
\[
{\rm (4.1.1)}
n = r - (j+3)
\]
ここで，$r$ は支点反力数を，$j$ は支点を除き部材中間にあるヒンジ数を表している．このとき，$n = 0$ ならつり合い条件だけで反力を求めることができる．もし，$n \lt 0$ であれば，構造は不安定であり一義的に解を求めることができない．また，$n \gt 0$ であれば，方程式数より未知数の方が多く，つり合い条件だけでは反力を求めることができない．構造力学では $n = 0$ のようにつり合い条件だけで反力が求められる構造を
静定構造 (statically determinate structure)といい， $n \lt 0$ のように不安定となる構造を
不安定構造 ， $n \gt 0$ のようにつり合い条件だけでは反力を求めることができない構造を
不静定構造 (statically indeterminate structure)と呼んでいる．以下に簡単な例を幾つか示そう．
１）不安定構造物
$\hspace{4em}$図4.2.6 不安定構造
\[
n = 2 - ( 0 + 3 ) = -1 \hspace{1em}( r = 2, j=0 )
\]
２）単純ばり (simple beam)
$\hspace{2em}$図4.2.7 単純ばり（静定構造）
\[
n = 3 - ( 0 + 3 ) = 0 \hspace{1em} ( r = 3, j = 0 )
\]
３）片持ばり (cantilever beam)
$\hspace{2em}$図4.2.8 片持ばり（静定構造）
\[
n = 3 - ( 0 + 3 ) = 0 \hspace{1em} ( r = 3, j = 0 )
\]
４）ゲルバーばり (Gerber beam)
$\hspace{0em}$図4.2.9 ゲルバーばり（静定構造）
\[
n = 4 - ( 1 + 3 ) = 0 \hspace{1em} ( r = 4, j = 1 )
\]
５）一端固定ばり
$\hspace{0em}$図4.2.10 一端固定ばり（不静定構造）
\[
n = 4 - ( 0 + 3 ) = 1 \hspace{1em} (r = 4, j = 0 )
\]
６）静定ラーメン (Rahmen)
$\hspace{0em}$図4.1.11 静定ラーメン（不静定構造）
\[
n = 6 - ( 0 + 3 ) = 3 \hspace{1em} ( r = 6, j = 0 )
\]
４.２.３ 静定構造物の反力
いろいろな静定構造物が荷重を受けたときの反力を実際に求めてみよう．
１）単純な構造に集中荷重を受けた場合
例題4.2.1（集中荷重が作用する単純ばり）
図4.2.12(a) に示す傾斜荷重 $P$ が作用した場合，
図4.2.12(b) に示すよう，力の分解を行い，成分 $P_x$, $P_y$ を以下のように求める．
$\hspace{3em}$図4.2.12 集中荷重が作用する単純ばりの反力
\[
P_x = P \cos \alpha \hspace{2em} P_y = \sin \alpha
\]
以上の準備のもとにつり合い条件式を立てると以下の式が得られる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A - P_x = 0 &
\therefore \; H_A = P \cos \alpha \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - P_y = 0 &
\therefore \; V_A + V_B = P \sin \alpha \\
\sum M = 0 &:& V_A \times l - P_y \times b &
\therefore \; V_A \cdot l = P \sin \alpha \cdot b
\end{array}
\]
これより反力が以下のように計算される．
\[
\therefore
H_A = P \cos \alpha \hspace{1em}
V_A = P \sin \alpha \left( \frac{b}{l} \right) \hspace{1em}
V_B = P \sin \alpha \left( \frac{a}{l} \right)
\]
例題4.2.2（モーメント集中荷重が作用する単純ばり）
図4.2.13 に示すようなモーメント集中荷重を受ける単純ばりの反力を求めてみよう．
$\hspace{0em}$図4.2.13 モーメント集中荷重が作用する単純ばりの反力
支点に生ずる反力を
図4.2.13(b) に示すよう考えると，つり合い条件式はつぎのようになる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 & \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B = 0 & \\
\sum M = 0 &:& V_A \times l + m =0 &
\therefore \; V_A \cdot l = -m
\end{array}
\]
これより，反力が以下のように計算できる．
\[
\therefore
H_A = 0 \hspace{1em}
V_A = - \left( \frac{m}{l} \right) \hspace{1em}
V_B = \left( \frac{m}{l} \right)
\]
例題4.2.3（集中荷重が作用する片持ばり）
図4.2.14 に示すような片持ちばりに集中荷重を受ける場合について考えてみよう．一見，面倒なように思えるが，支点反力を
図4.2.14(b) に示すよう考えると単純ばりの場合より計算はむしろ簡単になる．
$\hspace{2em}$図4.2.14 集中荷重が作用する片持ばりの反力
単純ばりに傾斜荷重が作用した場合と同様，片持ちばりの場合にも傾斜荷重をx方向成分および $y$ 方向成分に分解することから始める．
\[
P_x = P \cos \alpha \hspace{2em} P_y = \sin \alpha
\]
この結果，各方向のつり合い条件式は次のようになり，反力がただちに求まる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A - P_x = 0 &
\therefore \; H_A = P \cos \alpha \\
\sum V = 0 &:& V_A - P_y = 0 &
\therefore \; V_A = P \sin \alpha \\
\sum M = 0 &:& M_A + P_y \times a = 0 &
\therefore \; M_A = -P \sin \alpha \cdot a
\end{array}
\]
例題4.2.4（集中荷重が作用する張り出しばり）
図4.2.15 に示すような張り出し部のある単純ばりを考えてみよう．このようなはりを
張り出しばり (overhanging beam) と呼んでいる．構造物の形状が変化しても反力の種類は支点構造により決まるため，
図4.2.15(b) に示すように考える．
$\hspace{2em}$図4.2.15 集中荷重が作用する張り出しばりの反力
このとき，つり合い条件式は
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 &
\therefore \; H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - P = 0 &
\therefore \; V_A + V_B = P \\
\sum M = 0 &:& V_B \times l - P \times (l + a) &
\therefore \; V_B \cdot l = P (l+a)
\end{array}
\]
となる．したがって，反力は以下のように求められる．
\[
\therefore
H_A = 0 \hspace{1em}
V_A = - P \left( \frac{a}{l} \right) \hspace{1em}
V_B = P \left( \frac{l+a}{l} \right)
\]
２）単純な構造物に分布荷重を受けた場合
例題4.2.5（等分布荷重が作用する単純ばり）
図4.2.16 に示すように，単純ばりに等分布荷重を受けた場合の反力を求めてみよう．
$\hspace{4em}$図4.2.16 等分布荷重が作用する単純ばりの反力
分布荷重の場合は，一旦，
図4.2.16(c) に示すように分布荷重をその効果と同一の集中荷重に置き換えて考えると簡単であり，この問題の場合は単純ばりに一つの集中荷重が作用した問題に読みかえることができる．これにより，つり合い方程式が以下のように求められる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 & \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - wl = 0 &
\displaystyle \therefore \; V_A + V_B = wl \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle V_A \times l - wl \left( \frac{l}{2} \right) =0 &
\displaystyle \therefore \; V_A \cdot l = \frac{wl^2}{2}
\end{array}
\]
したがって，反力は以下のようになる．
\[
\therefore
H_A = 0 \hspace{1em}
V_A = \frac{wl}{2} \hspace{1em}
V_B = \frac{wl}{2}
\]
例題4.2.6（軸方向等分布荷重が作用する単純ばり）
図4.2.17 に示すような軸方向に等分布荷重が作用した場合について考えてみよう．
$\hspace{4em}$図4.2.17 軸方向等分布荷重が作用する単純ばりの反力
この場合も，
図4.2.17(c) に示すよう，分布している軸方向力をその効果と同一の一つの集中荷重に置き換えて考えればよい．先の例題と同様，
図4.2.17(c) のように，一旦力のつり合い系の問題にしてからつり合い方程式をたてて反力を求めると，以下のようになる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A - ql = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B = 0 \\
\sum M = 0 &:& V_A \times l = 0
\end{array}
\]
\[
\therefore \hspace{1em}
H_A = ql \hspace{1em}
V_A = 0 \hspace{1em}
V_B = 0 \hspace{1em}
\]
例題4.2.7（傾斜分布荷重が作用する単純ばり）
等分布荷重が
図4.2.18 に示すよう傾斜して作用している場合について考えてみよう．集中荷重の場合，傾斜荷重を一旦水平方向成分と鉛直方向成分に分解し計算した．傾斜した分布荷重の場合も，これと同様に鉛直成分と水平成分に分解すると考えやすい．
$\hspace{4em}$図4.2.18 傾斜荷重が作用する単純ばりの反力
荷重を分解した後，それぞれの荷重が単独に作用した状態で反力を求め，重ね合わせることによって全体の反力を求めることができる．これを
重ね合わせの原理 (principle of superposition)という．ただし，この仮定が成立するのは力と変形に関しては線形で，変形が微小である場合（微小変形）に限られる．図の例では分解した荷重は先に示した等分布荷重と軸方向荷重の組み合わせになる．それぞれの荷重に対する反力は以下のように求められる．
\[
（等分布荷重）\\
\hspace{3em} H_{A1} = 0
\hspace{1em} V_{A1} = \frac{w_y l}{2}
\hspace{1em} V_{B1} = \frac{w_y l}{2}
\]
\[
（軸方向分布荷重）\\
\hspace{3em} H_{A2} = w_x l
\hspace{1em} V_{A1} = 0
\hspace{1em} V_{B2} = 0
\]
したがって，全体の反力は以下のように求められる．
\[
H_A = H_{A1} + H_{A2}
= w_x l
= w \cos \alpha \cdot l \\
V_A = V_{A1} + V_{A2}
= \frac{w_y l}{2}
= w \sin \alpha \cdot \left( \frac{l}{2}\right) \\
V_B = V_{B1} + V_{B2}
= \frac{w_y l}{2}
= w \sin \alpha \cdot \left( \frac{l}{2}\right) \\
\]
例題4.2.8（三角形分布荷重が作用する単純ばり）
図4.2.19 に示すような単純ばりに三角分布荷重が作用した場合の反力を求めてみよう．考え方は等分布荷重の場合とまったく同様であり，一旦，分布荷重をその効果と同一な集中荷重におきなおして考えるとよい．
$\hspace{5em}$図4.2.19 三角形分布荷重が作用する単純ばりの反力
このとき，等分布荷重と三角形分布荷重とでは合力の作用位置が異なることに注意しなければならない．三角形分布荷重の場合には底辺から1/3の位置に合力が作用するから
図4.2.19(c) に示す位置に合力が働く．以上の準備のもとに力のつり合い方程式をたてると次のようになる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 & \\
\sum V = 0 &:& \displaystyle V_A + V_B - \frac{wl}{2} = 0 &
\displaystyle \therefore \; V_A + V_B = \frac{wl}{2} \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle V_A \times l - \frac{wl}{2} \times \frac{l}{3} = 0 &
\displaystyle \therefore \; V_A \cdot l = \frac{wl^2}{6}
\end{array}
\]
これより，反力を計算すると以下のようになる．
\[
\therefore
H_A = 0 \hspace{1em}
V_A = \frac{wl}{6} \hspace{1em}
V_B = \frac{wl}{3}
\]
例題4.2.9（台形分布荷重が作用する単純ばり）
台形分布荷重の場合，三角形分布荷重の場合と同様，台形分布における合力の作用位置を求めて計算することもできるが，
図4.2.20(b) に示すよう，一旦，等分布荷重と三角形分布荷重に分けて考えれば台形分布における合力の作用位置を知らなくても計算することができる．
$\hspace{6em}$図4.2.20 台形分布荷重が作用する単純ばりの反力
このように荷重を分割すれば，
図4.2.20(c) に示すよう単純ばりに２つの集中荷重が作用した場合として解析することができる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& \displaystyle
V_A + V_B - \frac{(w_2-w_1) l}{2}
- w_1l = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle
V_A \times l - \frac{(w_2-w_1) l}{2} \times \frac{l}{3}
- w_1l \frac{l}{2} = 0
\end{array}
\]
\[
\therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{rcl}
H_A &=& 0 \\
V_A &=& \displaystyle \frac{(2w_1+w_2)}{6} l \\
V_B &=& \displaystyle \frac{(w_1+2w_2)}{6} l
\end{array}
\right.
\]
例題4.2.10（部材中間に分布荷重が作用する単純ばり）
単純ばりの部材中間に等分布荷重が作用した場合の反力は．
図4.2.21 に示すよう，分布荷重の合力とその作用位置が正しく求められれば，その後の計算は集中荷重が作用した問題に置き換えることができる．このとき，分布荷重の合力作用位置は
図4.2.21(c) に示すよう載荷幅bの1/2の位置に作用することに注意しなければならない．
$\hspace{4em}$図4.2.21 部材中間に分布荷重が作用する単純ばりの反力
以上より力のつり合い方程式たて，反力を求めると次のようになる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - w b = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle
V_A \times l - w b \left( c + \frac{b}{2} \right) = 0
\end{array}
\]
\[
\therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{rcl}
H_A &=& 0 \\
V_A &=& \displaystyle \frac{wb \left( c+\frac{b}{2} \right)}{l} \\
V_B &=& \displaystyle \frac{wb \left( a+\frac{b}{2} \right)}{l}
\end{array}
\right.
\]
３）複雑な構造物の場合
これまでは構造形状が比較的簡単な場合の反力を求めてきた．次に，同じ静定構造物ではあるが構造形状が複雑になった場合の反力を求めてみよう．
例題4.2.11（アーチ部を持つ片持ばり）
図4.2.22 はアーチ型の曲がった部材を持つ構造に集中荷重が１つ作用した例である．この例は片持ちばりの簡単な応用にすぎない．
図4.2.22(a) において $A$ 端は固定支点であるため，
図(b) のように３つの力に置き換える．
$\hspace{1em}$図4.2.22 アーチ部を持つ片持ばりの反力
これをもとにつり合い方程式をたて，反力を求めると以下のようになる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 &
\therefore \; H_A = 0 \cos \alpha \\
\sum V = 0 &:& V_A - P = 0 &
\therefore \; V_A = P \\
\sum M = 0 &:& M_A + P \times 2R = 0 &
\therefore \; M_A = -P \times 2R
\end{array}
\]
例題4.2.12（静定ラーメン）
図4.2.23 に示すような静定ラーメンの反力を求めてみよう．この問題は静定構造であるから力のつり合いより反力を求めることができる．
$\hspace{4em}$図4.2.23 静定ラーメンの反力
図を参照してつり合い方程式をたて，反力を求めると以下のようになる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - P = 0 \\
\sum M = 0 &:& V_A \times l - P \times b = 0
\end{array}
\]
\[
\therefore
H_A = 0 \hspace{1em}
V_A = P \left( \frac{b}{l} \right) \hspace{1em}
V_B = P \left( \frac{a}{l} \right)
\]
例題4.2.13（ $\pi$ 型静定ラーメン）
$\pi$ 型をした構造物に等分布荷重が
図4.2.24 のように作用した場合の反力を求めよう．
$\hspace{6em}$図4.2.24 $\pi$ 型静定ラーメンの反力
図のように支点反力や分布荷重を集中荷重により表し，つり合い方程式をたてることにより，反力が以下のように求まる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - w(a+b+l) = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle V_A \times (a+b+l) - w(a+b+l)\frac{a+b+l}{2} = 0
\end{array}
\]
\[
\therefore
H_A = 0 \hspace{1em}
V_A = V_B = \frac{w (a+b+l)}{2}
\]
４.３.１ はりの軸力・せん断力・曲げモーメント
外力が作用しつり合い状態にあるはりの内部には各種の応力が生じている．いま，
図4.3.1(a) に示すように任意の断面 $mn$ ではりを左右に切り離して考えてみよう．本来この断面はつながっているため，左右の断面に生じている力は打ち消しあわなければならない．すなわち，大きさが等しく向きが反対の力が左右の断面に作用していることになる．
$\hspace{6em}$図4.3.1 断面力
左右の断面が連続であるという状態を力学的に考えてみよう．断面が軸方向に離れないためには，
図4.3.1(b) に示すように軸方向の力がつり合っていなければならない．このような力を
軸力 (normal force)といい，記号 $N$ をもって表す．一方，軸垂直方向に断面がずれないためには，
図4.3.1(c) のようにせん断方向の力がつり合っていなければならない．この力を
せん断力 (shearing force)といい，記号 $S$ により表す．また，断面が任意の方向に回転しないためには，
図4.3.1(d) のようにモーメントがつり合っていなければならない．このような力を
曲げモーメント (bending moment)といい，記号 $M$ で表す．これら，３つの力は断面内部に生ずる力ということから総称して
断面力 と呼ばれている．
任意の断面において左右に分割したはりの断面力は，左右それぞれの部分においてつり合い条件を満足しなければならないことより求めることができる．具体的な求め方については後述するとし，断面力の正の向きを定義しておこう．はりの断面力を扱う場合には，
図4.3.2 示す方向を正と考えている．
$\hspace{10em}$図4.3.2 断面力の正の向き
図中，小さな矩形ははりの微小部分を示している．
図からも理解できるように，軸力は
引張力 (tensile force)を正と考え，
圧縮力 (compressive force)を負としている．また，せん断力は，はりの微小部分を取り出したとき，それが時計回りに回転する方向を正，反時計回りに回転する方向を負としている．曲げモーメントについては，はりの場合，下側が引っ張りとなるような向きを正と考えているが，複雑な構造の場合には上下がはっきりしないため，明確な定義はない．
４.３.２ 単純ばりの断面力 （１）集中荷重が作用する場合 図4.3.3 に示すような，単純ばりに傾斜した集中荷重が作用した場合の断面力を求めてみよう．はりの $x$ 座標軸は，図に示すように $A$ 端から $B$ 端に向かう方向を正とする．
$\hspace{5em}$図4.3.3 集中荷重が作用する単純ばり
このとき，反力は，はり全体のつり合い条件式より以下のように得られる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A - P_x = 0 &
\therefore \; H_A = P \cos \alpha \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - P_y = 0 &
\therefore \; V_A + V_B = P \sin \alpha \\
\sum M = 0 &:& V_A \times l - P_y \times b &
\therefore \; V_A \cdot l = P \sin \alpha \cdot b
\end{array}
\]
\[
\left(
但し，\hspace{1em} P_x = P \cos \alpha \hspace{1em} P_y = \sin \alpha
\right)
\]
\[
\therefore \hspace{1em}
H_A = P \cos \alpha \hspace{1em}
V_A = P \sin \alpha \left( \frac{b}{l} \right) \hspace{1em}
V_B = P \sin \alpha \left( \frac{a}{l} \right)
\]
一方，はりの任意位置における断面力は集中荷重が作用している点 $C$ を境に，$[A-C]$ 区間と $[C-B]$ 区間の２つの区間に分けて考える．このとき，$x$ が0から $a$ の間の$[A-C]$ 区間内における任意位置には外力が作用していないため，切断面の断面力を $N,S,M$ として
図4.3.4(a) に示すような系の力のつり合い条件から断面力を計算する．
[A-C]区間 $(0 \le x \le a)$
$\hspace{0em}$図4.3.4(a) 集中荷重が作用する単純ばりの断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N + H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& S - V_A = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - V_A \cdot x = 0
\end{array}
\hspace{2em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = -H_A = P \cos \alpha \\
S = \displaystyle V_A = P \sin \alpha \cdot \frac{b}{l} \\
M = \displaystyle V_A \cdot x = P \sin \alpha \cdot \frac{b}{l} \cdot x
\end{array}
\right.
\]
また，$x$ が $a$ から $l$ の間の $[C-B]$ 区間内における断面力は
図4.3.4(b) に示す系の力のつり合いを考えればよい．
[C-B]区間 $(a \le x \le l)$
$\hspace{0em}$図4.3.4(b) 集中荷重が作用する単純ばりの断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N + H_A - P \cos \alpha = 0 \\
\sum V = 0 &:& S - V_A + P \sin \alpha = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - V_A \cdot x+ P \sin \alpha (x-a) = 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = \displaystyle -P \sin \alpha \cdot \frac{a}{l} = -V_B \\
M = \displaystyle P \sin \alpha \cdot \frac{a(l-x)}{l} = V_B (l-x)
\end{array}
\right.
\]
ここで，モーメントのつり合いは，切断面の位置を基準に考えている．
$[C-B]$区間のつり合いは，$B$ 端を始点とする新しい座標系により次ぎのように考えることもできる．
[B-C]区間 $(0 \le x' \le b)$
$\hspace{0em}$図4.3.4(c) 集中荷重が作用する単純ばりの断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S + V_B = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - V_B \cdot x'= 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = -V_B \\
M = V_B \cdot x' = V_B (l-x)
\end{array}
\right.
\]
ここで，断面力の向きは $A$ 端から考えた場合と逆向きとなっている．
さて，このようにして求められた断面力は座標 $x$ の関数，すなわち，区間内の任意の位置の式となっている．この式を基にはり全体の断面力の分布を図で表せば，断面力がどのように分布しているか容易に判断することができる．
図4.3.5 は，軸力，せん断力，曲げモーメントに関する図である．
$\hspace{6em}$図4.3.5 断面力図
この図は，それぞれ，
軸力図 (normal force diagram : N.F.D)，
せん断力図 (shearing force diagram : S.F.D)，
曲げモーメント図 (bending moment diagram : B.M.D)と呼んでいる．また，これらの図を総称して
断面力図 と呼んでいる．一般に，曲げモーメント図は，部材に引張力を生じる側に正の値を描くことが多い．
例題4.3.1
図4.3.6 に示すような単純ばりに幾つかの集中荷重が作用する場合の断面力を求めてみよう．
$\hspace{4em}$図4.3.6 幾つかの集中荷重が作用する単純ばり
図より反力を求めると次ぎのようになる．
（反力）
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - (5+10) = 0 \\
\sum M = 0 &:& V_A \times 20 - 5 \times 14 - 10 \times 4 = 0
\end{array}
\hspace{2em} \therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{l}
H_A = 0 \\
V_A = 5.5 \; {\rm kN} \\
V_B = 9.5 \; {\rm kN}
\end{array}
\right.
\]
（断面力）
[A-C]区間 $(0 \le x \le 6)$
$\hspace{4em}$図4.3.7(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S - 5.5 = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - 5.5 x= 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = 5.5 \\
M = 5.5x
\end{array}
\right.
\]
[C-D]区間 $(6 \le x \le 16)$
$\hspace{4em}$図4.3.7(b) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S + 5 - 5.5 = 0 \\
\sum M = 0 &:& M + 5(x-6) - 5.5 x= 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = 0.5 \\
M = 0.5x + 30
\end{array}
\right.
\]
[B-D]区間 $(0 \le x' \le 4)$
$\hspace{4em}$図4.3.7(c) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S + 9.5 = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - 9.5 x' = 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = -9.5 \\
M = 9.5x' = 9.5(20-x)
\end{array}
\right.
\]
$\hspace{4em}$図4.3.7(d) 断面力図
反力の項でも述べたように，断面力についても重ね合わせの原理が成立する．例えば，
例題4.3.1 の問題の場合， 個々の荷重が作用した状態について解き，それらを以下に示すように重ね合わせることによりすべての荷重が作用した状態の断面力を求めるこたができる．
$\hspace{14em}$図4.3.8 断面力の重ね合わせ
（２）分布荷重が作用する場合 図4.3.9 に示すように，単純ばりに等分布荷重が満載した場合の断面力を求めてみよう．ただし，図に示すように，$A$ 端から $B$ 端に向かう方向を $x$ 軸の正とする．
$\hspace{8em}$図4.3.9 単純ばりに等分布荷重が満載した場合
反力を求める場合，
図(a) の問題は
図(c) と等価と考えられることより，以下のようになる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - wl = 0 \\
\sum M = 0 &:& V_A \times l - wl \cdot l/2 = 0
\end{array}
\hspace{2em} \therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{l}
H_A = 0 \\
V_A = wl/2 \\
V_B = wl/2
\end{array}
\right.
\]
一方，任意切断面におけるつり合い状態は，以下に示す
図(a) と
図(b) で等価であることより，以下のように断面力を計算することができる．
$\hspace{8em}$図4.3.10(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S - wl/2 + wx = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - (wl/2)x + wx(x/2) = 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = -wx + wl/2 \\
M = -wx^2/2 + (wl/2)x
\end{array}
\right.
\]
曲げモーメント $M$ の最大値が生ずる位置は，
\[
\frac{dM}{dx} = -wx + \frac{wl}{2} = S = 0
\hspace{2em}
\therefore
\hspace{1em}
x = \frac{l}{2}
\]
である．すなわち，せん断力が0となる位置 $(x=l/2)$ で最大曲げモーメント $(M_{\rm max})$ が生じ，その値は以下のようになる．
\[
M_{\rm max} = \left[
- \frac{wx^2}{2} + \frac{wl}{2}x
\right]_{x=l/2}
= \frac{wl^2}{8}
\]
以上の結果を用いて断面力図を描くと
図4.3.10(b) のようになる．
$\hspace{3em}$図4.3.10(b) 断面力図
例題4.3.2
図4.3.11 に示すような三角形分布荷重が作用する単純ばりの断面力を求めてみよう．
$\hspace{8em}$図4.3.11 単純ばりに三角形分布荷重が満載した場合
図より，支点に生ずる反力は以下のように計算される．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& \displaystyle V_A + V_B - \frac{wl}{2} = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle V_A \times l - \frac{wl}{2} \cdot \frac{l}{3}=0
\end{array}
\hspace{2em} \therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{l}
H_A = 0 \\
V_A = \displaystyle \frac{wl}{6} \\
V_B = \displaystyle\frac{wl}{3}\
\end{array}
\right.
\]
一方，任意切断面におけるつり合い状態を以下のように考えることで，断面力を次のように求めることができる．
$\hspace{9em}$図4.3.12(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& \displaystyle S - \frac{wl}{6} + \frac{wx^2}{2l} = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M - \frac{wl}{6}x + \frac{wx^2}{2l} \cdot \frac{x}{3}=0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = \displaystyle -\frac{wx^2}{2l} + \frac{wl}{6} \\
M = \displaystyle -\frac{wx^2}{6l} + \frac{wl}{6}x
\end{array}
\right.
\]
このとき，曲げモーメントは
\[
\frac{dM}{dx} = \frac{wx^2}{2l} + \frac{wl}{6} = S = 0
\hspace{2em} \therefore \hspace{1em}
x = \frac{l}{\sqrt{3}}
\]
で最大値をとり，その値は次のようになる．
\[
M_{\rm max} = \left[
- \frac{wx^3}{6 l}+\frac{wl}{6}x
\right]_{x=l/\sqrt{3}}
= \frac{wl^2}{9 \sqrt{3}}
\]
以上の結果を用いて断面力図を描くと
図4.3.12(b) のようになる．
$\hspace{4em}$図4.3.12(b) 断面力図
例題4.3.3
図4.3.13 に示すような，等分布荷重と集中荷重が同時に作用する場合の断面力を求めてみよう．
$\hspace{8em}$図4.3.13 等分布荷重と集中荷重が同時に作用する単純ばり
反力は
図(c) の力の作用状態から次のように計算される．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - 4 \times 3 - 16 = 0 \\
\sum M = 0 &:& V_A \times 4 - 4 \times 3 \times 1.5 - 16 \times 1 = 0
\end{array}
\hspace{2em} \therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{l}
H_A = 0 \\
V_A = 8.5 \; {\rm N} \\
V_B = 19.5 \; {\rm N}
\end{array}
\right.
\]
一方，断面力については，$C$，$D$ 点を境として３つの区間分け，以下のように求める．
[A-C]区間 $(0 \le x \le 1 {\rm m})$
$\hspace{2em}$図4.3.14(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S - 8.5 = 0 \\
\sum M = 0 &:& M - 8.5 x = 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = 8.5 \\
M = 8.5 x
\end{array}
\right.
\]
[B-D]区間 $(1 {\rm m} \le x \le 3 {\rm m})$
$\hspace{7em}$図4.3.14(b) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S - 8.5 + 4(x-1) = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M - 8.5 x + 4(x-1) \frac{(x-1)}{2}= 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = -4x + 12.5 \\
M = -2x^2 + 12.5x - 2
\end{array}
\right.
\]
[B-D]区間 $(0 \le x' \le 1 {\rm m})$
$\hspace{7em}$図4.3.14(c) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S + 19.5 - 4x' = 0 \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M - 19.5 x' + 4x' \cdot \frac{x'}{2} = 0
\end{array}
\hspace{1em}
\therefore
\left\{
\begin{array}{l}
N = 0 \\
S = 4x' - 19.5 \\
M =-2x'^2 + 19.5x'
\end{array}
\right.
\]
最大曲げモーメントは，本例題の場合，集中荷重の作用位置で生じ，その値は $17.5 {\rm Nm}$となる．
以上の結果を用いて断面力図を描くと
図4.3.14(d) のようになる．
$\hspace{2em}$図4.3.14(d) 断面力図
４.３.３ 片持ばりの断面力 （１）集中荷重が作用する場合 図4.3.15 に示すような，$A$ 端が固定支持の片持ばりに傾斜した集中荷重が作用した場合の断面力を求めてみよう．ただし，$x$ の正方向を $A$ 端から $B$ 端に向かう方向とする．
$\hspace{3em}$図4.3.15 集中荷重が作用する片持ばり
はじめに，支点反力は
図4.3.15(b) に示したつり合い状態から次のように計算される．
（反力）
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A - P_x = 0 &
\therefore \; H_A = P \cos \alpha \\
\sum V = 0 &:& V_A - P_y = 0 &
\therefore \; V_A = P \sin \alpha \\
\sum M = 0 &:& M_A + P_y \times a = 0 &
\therefore \; M_A = -P \sin \alpha \cdot a
\end{array}
\]
一方，断面力は $A-C$ 区間と $C-B$ 区間の２区間で考えることにより，以下のように求めることができる．
[A-C]区間 $(0 \le x \le a)$
$\hspace{4em}$図4.3.16(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = -P \cos \alpha \\
\sum V = 0 &:& S = P \sin \alpha \\
\sum M = 0 &:& M = -P \sin \alpha \cdot a + P \sin \alpha \cdot x
\end{array}
\]
[C-B]区間 $(a \le x \le l)$
$\hspace{4em}$図4.3.16(b) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = 0 \\
\sum M = 0 &:& M = 0
\end{array}
\]
$\hspace{4em}$図4.3.16(c) 断面力図
最大曲げモーメントは支点部で生じ，その値はモーメント反力と一致する．
例題4.3.4
図4.3.17 に示すような，片持ばりに集中曲げモーメントが作用する場合の断面力を求めてみよう．
$\hspace{0em}$図4.3.17 集中曲げモーメントが作用する片持ばり
（反力）
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A = 0 \\
\sum M = 0 &:& M_A = -m
\end{array}
\]
（断面力）
[A-C]区間 $(0 \le x \le a)$
$\hspace{2em}$図4.3.18(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = 0 \\
\sum M = 0 &:& M = -m
\end{array}
\]
[C-B]区間 $(a \le x \le l)$
$\hspace{2em}$図4.3.18(b) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = 0 \\
\sum M = 0 &:& M = 0
\end{array}
\]
$\hspace{2em}$図4.3.18(c) 断面力図
（２）分布荷重が作用する場合 図4.3.19 に示すような片持ばりに等分布荷重が満載された場合の断面力を求めてみよう．
$\hspace{6em}$図4.3.19 片持ばりに等分布荷重が作用する場合
反力は，
図(c) のつり合い状態より以下のように計算できる．
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 &
\therefore \; H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A - wl = 0 &
\therefore \; V_A = wl \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M_A + wl \cdot \frac{l}{2} = 0 &
\displaystyle \therefore \; M_A = -\frac{wl^2}{2}
\end{array}
\]
一方，任意切断面における断面力は以下のようにして求めることができる．
$(0 \le x \le l)$
$\hspace{8em}$図4.3.20(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcll}
\sum H = 0 &:& N = 0 &
\therefore \; N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S + wx - wl = 0 &
\therefore \; S = -wx + wl \\
\sum M = 0 &:& M +wx \cdot \frac{x}{2} - wl \cdot x + \frac{wl^2}{2} = 0 &
\therefore \; M = -\frac{wx^2}{2}+wl \cdot x -\frac{wl^2}{2}
\end{array}
\]
$\hspace{2em}$図4.3.20(b) 断面力図
この場合も最大曲げモーメントは支点において生じ，その値はモーメント反力と一致する．
４.３.４ その他のはりの断面力 （１）張出しばりの断面力
張出しばりは，
図4.3.21 に示すように，単純ばり部と片持部からなる．
$\hspace{2em}$図4.3.21 張出しばり
張出しばりの断面力は，通常の単純ばりや片持ばりと同様に全体構造をそのまま考えてつり合い方程式により解く方法（方法１）と，単純ばり部は単純ばりとして，片持部は片持ばりとして別々に解いた後重ね合わせる方法（方法２）の２通り求め方がある．
図4.3.22 はその関係を図示したものである．どちらの解析法を用いても同じ断面力が得られるが，直感的な検討の場合は後者の方が理解しやすい．
$\hspace{12em}$図4.3.22 方法２による重ね合わせ
図4.3.23 に示すような張出しばりに集中荷重が作用する場合の断面力を方法１および方法２により求めてみよう．
$\hspace{2em}$図4.3.23 張出しばり
（方法１）
方法１では，はじめに反力を求めておく必要がある．反力は水平方向，鉛直方向ならびにモーメントのつり合いより以下のように求まる．
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
H_A &=& 0 \\
V_A &=& \displaystyle \frac{P_1(a_1+l)+Pb-P_2a_2}{l} \\
V_B &=& \displaystyle \frac{P_2(a_2+l)+Pa-P_1a_1}{l}
\end{array}
\right.
\]
次に断面力は４つの区間に分け以下のように計算する．
[D-A]区間 $(0 \le x \le a_1)$
$\hspace{2em}$図4.3.24(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = -P_1 \\
\sum M = 0 &:& M = -P_1 x
\end{array}
\]
[A-C]区間 $(a_1 \le x \le a_1+a)$
$\hspace{2em}$図4.3.24(b) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = V_A - P_1 \\
\sum M = 0 &:& M = V_A(x-a_1) - P_1 x
\end{array}
\]
[B-C]区間 $(a_2 \le x' \le a_2+b)$
$\hspace{2em}$図4.3.24(c) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = -V_B + P_2 \\
\sum M = 0 &:& M = V_B(x'-a_2) - P_2 x'
\end{array}
\]
[E-B]区間 $(0 \le x' \le a_2)$
$\hspace{2em}$図4.3.24(d) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = -V_B + P_2 \\
\sum M = 0 &:& M = -V_B(x'-a_2) - P_2 x'
\end{array}
\]
$\hspace{3em}$図4.3.24(e) 断面力図
（方法２）
$\hspace{8em}$図4.3.25 断方法２による断面力の重ね合わせ
例題4.3.5
方法１により，
図4.3.26 に示す等分布荷重が作用す張出しばりの断面力を求めてみよう．
$\hspace{8em}$図4.3.26 等分布荷重が作用する張出しばり
反力は，図を参考にして以下のように計算される．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B - w(a+b+l) = 0 & \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle V_A \cdot l - \frac{w (a+l)^2}{2} + \frac{wb^2}{2}=0
\end{array}
\]
\[
\hspace{1em} \therefore \hspace{1em}
\left\{
\begin{array}{l}
H_A = 0 \\
V_A = \frac{w}{2l}(a+b+l)(a-b+l) \\
V_B = \frac{w}{2l}(a+b+l)(-a+b+l)
\end{array}
\right.
\]
一方，断面力は以下のように求めることができる．
[C-A]区間 $(0 \le x \le a)$
$\hspace{6em}$図4.3.27(a) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = -wx \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M = -\frac{wx^2}{2}
\end{array}
\]
[A-B]区間 $(a \le x \le a+l)$
$\hspace{7em}$図4.3.27(b) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = -wx + V_A \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M = -\frac{wx^2}{2}+ V_A(x-a)
\end{array}
\]
[D-B]区間 $(0 \le x' \le b)$
$\hspace{7em}$図4.3.27(c) 断面力
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& N = 0 \\
\sum V = 0 &:& S = wx' \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle M = -\frac{wx'^2}{2}
\end{array}
\]
$\hspace{2em}$図4.3.27(d) 断面力図
（２）ゲルバーばりの断面力
$n$ 個の支点で支えられた連続ばりは $(n-2)$ 次の不静定構造である．
図4.2.28 は２次の不静定構造の例が示されている．
$\hspace{4em}$図4.3.28 連続ばりの例
この構造物に
図4.2.29 に示すような $(n-2)$ 個のヒンジを挿入して静定構造物としたものが
ゲルバーばり である．
$\hspace{0em}$図4.3.29 ヒンジ構造
図4.3.30 は３スパンのゲルバーばりを示した図で，ヒンジの位置により
フリースパン ，
片持ちスパン ，
定着スパン の３つのスパンに分類される．
$\hspace{12em}$図4.3.30 ３スパンの例
ヒンジ点では，曲げモーメントが伝達しないため，曲げモーメントは零である．ゲルバーばりの断面力は，この特性を利用して構造全体をそのまま考えてつり合い方程式により求める方法（方法１）と，張り出しばりのときと同様にヒンジ点で
図4.3.31 に示すように構造を分割して求める方法（方法２）の２通りがある．
$\hspace{10em}$図4.3.31 方法２による解法
例題4.3.6
図4.3.32 に示すようなヒンジ点を１つ持つゲルバーばりの断面力を方法１により求めてみよう．
$\hspace{10em}$図4.3.32 ゲルバーばり
図の構造における反力は４つであるため，ヒンジ点において曲げモーメントが０になることを利用し以下のつり合い条件式をたてる．
\[
\begin{array}{lcl}
\sum H = 0 &:& H_A = 0 \\
\sum V = 0 &:& V_A + V_B + V_C - ws = 0 & \\
\sum M = 0 &:& \displaystyle V_B \cdot a + V_C (a+c+s) - ws(a+c+\frac{s}{2}) = 0 \\
\sum M_G = 0 &:& \displaystyle V_C \cdot s - ws \frac{s}{2} = 0
\end{array}
\]
これより反力が以下のように求まる．
\[
\begin{array}{rcl}
H_A &=& 0 \\
V_A &=& \displaystyle - \frac{wsc}{2a} \\
V_B &=& \displaystyle \frac{ws}{2a}(a+c) \\
V_C &=& \displaystyle \frac{ws}{2}
\end{array}
\]
一方，断面力はこれまでと同様，部材を３つの区間に分け以下のように計算する．
[A-B]区間 $(0 \le x \le a)$v class=ls>
$\hspace{0em}$
$\hspace{2em}$
$\hspace{2em}$
$\hspace{2em}$
$\hspace{4em}$
$\hspace{2em}$
$\hspace{2em}$
